NCERT Solutions For Class 11 Physics Chapter 3 Motion In A Straight Line in Hindi - 2025-26

1. नीचे दिए गए गति के कौन-से उदाहरणों में वस्तु को लगभग बिन्दु वस्तु माना जा सकता है

i) दो स्टेशनों के बीच बिना किसी झटके के चल रही कोई रेलगाड़ी।

उत्तर: ट्रेन दो स्टेशनों के बीच बिना झटके के चल रही है; इसलिए, दो स्टेशनों के बीच की दूरी को ट्रेन की लंबाई से अधिक माना जा सकता है। इसलिए ट्रेन को एक बिंदु वस्तु के रूप में माना जाएगा।

ii) किसी वृत्तीय पथ पर साइकिल चला रहे किसी व्यक्ति के ऊपर बैठा कोई बन्दर।

उत्तर: चूँकि बंदर द्वारा उचित समय में तय की गई दूरी अधिक होती है; इसलिए बंदर को बिंदु वस्तु माना जाएगा।

iii) जमीन से टकराकर तेजी से मुड़ने वाली क्रिकेट की कोई फिरकती गेंद।

उत्तर: चूंकि गेंद को मोड़ना आसान नहीं है; अत: गेंद द्वारा दिए गए समय में तय की गई दूरी अधिक नहीं होती है। इसलिए गेंद को एक बिंदु वस्तु के रूप में नहीं माना जा सकता है।

iv) किसी मेज के किनारे से फिसलकर गिरा कोई बीकर।

उत्तर: जैसे बीकर फिसल कर मेज के किनारे से गिर जाता है; अत: दिए गए समय में इसके द्वारा तय की गई दूरी अधिक नहीं है। इसलिए इसे एक बिंदु वस्तु नहीं माना जा सकता है।

2. दो बच्चे $A$ व $B$ अपने विद्यालय से लौटकर अपने-अपने घर मे क्रमशः$P$ तथा $Q$ को जा रहे हैं। उनके स्थिति-समय \[\left( {x - t} \right) + \] ग्राफ चित्र \[ - 3.1\]

(a) में दिखाए गए हैं। नीचे लिखे कोष्ठकों में सही प्रविष्टियों को चुनिए\[\]

(a) \[B/A\] की तुलना में \[A/B\] विद्यालय से निकट रहता है।

उत्तर: (a) \[B\] की तुलना में\[A\]स्कूल के पास रहता है क्योंकि \[B\] अधिक दूरी तय करता है\[\left[ {OP < OQ} \right]\]
(b) \[B/A\] की तुलना में \[A/B\] विद्यालय से पहले चलता है।

उत्तर: (b) \[B\] की तुलना में \[A\] स्कूल से पहले जाता है, क्योंकि\[A\] गति प्रारंभ समय\[t = 0\] है परन्तु \[B\] कश्मीर की गति शुरू करने का समय एक निश्चित सकारात्मक मूल्य है।

(c) \[B/A\] की तुलना में \[A/B\] तेज चलता है।

उत्तर:(c) \[{\text{A}}\] की तुलना में \[{\text{B}}\] तेज चलता है, क्योकि \[{\text{B}}\] के ग्राफ का ढाल \[{\text{A}}\] के ग्राफ के ढाल से अधिक है।

(d) \[A\] और B घर (एक ही/भिन्न) समय पर पहुँचते हैं।

उत्तर: (d) \[{\text{A}}\] और \[B\]घर भिन्न समय पर पहुँचते हैं।

(e) \[A/B\] सड़क पर \[B/A\] से (एक बार/दो बार) आगे हो जाते हैं।

उत्तर: (e) \[{\text{B}}\] सड़क और \[{\text{A}}\] से एक बार आगे हो जाता है (प्रतिच्छेद बिन्दु \[X\] के बाद)।

3. एक महिला अपने घर से प्रातः \[9.00\] बजे \[2.5\] km दूर अपने कार्यालय के लिए सीधी सड़क पर \[5km{h^{ - 1}}\] चाल से चलती है। वहाँ वह सायं \[5.00\] बजे तक रहती है और \[25\] \[km{h^{ - 1}}\] की चाल से चल रही किसी ऑटो रिक्शा द्वारा अपने घर लौट आती है। उपयुक्त पैमाना चुनिए तथा उसकी गति का \[x - t\] ग्राफ खींचिए।.

उत्तर: महिला को घर से ऑफिस पहुंचने में लगा समय,

\[{t_1} = \]दूरी / चाल 

\[{t_1} = 2.5\] किमी /\[5.0\] किमी/घण्टा 

\[{t_1} = \dfrac{1}{2}\]घण्टा 

\[{t_1} = 0.5\] घण्टा 

\[{t_1} = 30\] मिनट 

महिला के कार्यालय पहुँचने का समय

\[ = 9.00 + 0.30\]

\[ = 9.30\]

प्रात: कार्यालय में ठहरने का समय \[ = 9.30\] प्रात: से \[5.00\] सायं
महिला को ऑफिस से घर लौटने में लगने वाला समय-

\[{t_2} = \] दूरी / ऑटो रिक्शा की चाल    

\[{t_2} = 2.5\] किमी /25 किमी/घण्टा    

\[{t_2} = \dfrac{1}{{10}}\] घण्टा 

\[{t_2} = 6\] मिनट  

महिला के घर. पहुँचन्नें का समय \[ = 5.06\] सायं पैमाना\[ - X - \]अक्ष पर \[:10\] खाने \[ = 1\]घण्टा \[Y - \]अक्ष पर \[:20\] खाने \[ = 1\] किमी

$ = \dfrac{{2.5}}{{5.0}}$

$ = \dfrac{1}{2}$घण्टा

$ = 0.5$घण्टा

$ = 30$मिनट

महिला के कार्यालय पहुँचने का समय

$ = 9.00 + 0.30$

$ = 9.30$

प्रात: कार्यालय में ठहरने का समय $ = 9.30$ प्रात: से  $5.00$ सायं

महिला को ऑफिस से घर लौटने में लगने वाला समय-

${t_2} = $ दूरी / ऑटो रिक्शा की चाल 

$ = \dfrac{{2.5}}{{25}}$

\[ = \dfrac{1}{{10}}\] घण्टा

\[ = 6\] मिनट

महिला के घर. पहुँचनें का समय \[ = 5.06\] सायं

पैमाना-\[X\]-अक्ष पर \[10\] खाने \[ = 1\] घण्टा

\[Y\]-अक्ष पर : \[20\] खाने \[ = 1\]किमी

4. कोई शराबी किसी तंग गली में \[5\] कदम आगे बढ़ता है और \[3\] कदम पीछे आता है, उसके बाद फिर \[5\] कदम आगे बढ़ता है और \[3\] कदम पीछे आता है, और इसी तरह वह चलता रहता है। उसका हर कदम \[1\] \[m\] लम्बा है और \[1\] \[s\] समय लगता है। उसकी गति का \[x - t\]  ग्राफ खींचिए। ग्राफ से तथा किसी अन्य विधि से यह ज्ञात कीजिए कि वह जहाँ से चलना प्रारम्भ करता है वहाँ से \[13\]\[m\]दूर किसी गड्ढे में कितने समय पश्चात गिरता है?

उत्तर: ग्राफ (चित्रे \[3.3\]) से स्पष्ट है कि शराबी गति आरम्भ करने के स्थान से \[13\] किमी दूर गड्ढे में \[37\] सेकण्ड बाद गिरेगा। \[(\because 13\] मी के संगत ग्राफ से समय-अक्ष पर समय \[37\]सेकण्ड है।)

गणना:
प्रथम \[8\] कदम अर्थात् \[8\] सेकण्ड में शराबी का गत्यारम्भ के स्थान से विस्थापन अर्थात् उसके द्वारा तय नेट दूरी \[ = \left( {5 - 3} \right)\] मी \[ = 2\]  मी
इस प्रकार अगले 8 कदम तक \[(16\] कदमों में) अर्थात्
\[16\]  सेकण्ड में नेट दूरी \[ = \left( {2 + 2} \right)\] मी \[ = 4\]मी
\[24\]कदमों में अर्थात् \[24\] सेकण्ड में नेट दूरी \[ = \left( {2 + 2 + 2} \right)\] मी \[ = 6\] मी \[32\] कदमों में अर्थात् \[32\]सेकण्ड में नेट दूरी ।
\[ = \left( {2 + 2 + 2 + 2} \right)\] मी \[ = 8\] मी
\[37\] कदमों में अर्थात् 37 सेकण्ड में नेट दूरी \[ = 8\] मी \[ + 5\]  मी \[ = 13\]मी
अतः गत्यारम्भ के स्थान से \[13\]मी दूर स्थित गड्ढे में गिरने में शराबी द्वारा लिया गया समय \[ = 37\] कदमों का समय \[ = 37\] सेकण्ड

5. कोई जेट वायुयान \[500\] \[km{h^{ - 1}}\] की चाल से चल रहा है और यह जेट वायुयान के सापेक्ष \[1500\] \[km{h^{ - 1}}\]  की चाल से अपने दहन उत्पादों को बाहर निकालता है। जमीन पर खड़े किसी प्रेक्षक के सापेक्ष इन दहन उत्पादों की चाल क्या होगी?

उत्तर: जेट का वेग \[ = {v_J} =  - 500\] \[km{h^{ - 1}}\] (प्रेक्षक से दूर)
जेट के सापेक्ष दहन उत्पाद बाहर निकालने का आपेक्षिक वेग \[ = v{e_J} = 1500\] \[km{h^{ - 1}}\] यदि बाहर निकलने वाले उत्पादों का वेग νe हो तो \[v{e_J} = ve - {v_J}\] या
\[ve = v{e_J} + {v_J}\]

\[ = 1500 + \left( { - 500} \right)\]

\[ = 1000\] \[km/h\]

6. सीधे राजमार्ग पर कोई कार \[126\] \[km{h^{ - 1}}\] की चाल से चल रही है। इसे \[200\]\[m\] की दूरी पर रोक दिया जाता है। कार के मन्दन को एकसमान मानिए और इसका मान निकालिए। कार को रुकने में कितना समय लगा?

उत्तर: कार की प्रारम्भिक चाल, \[u = 126\] किमी/घण्टा

\[1\] किमी/घण्टा \[ = 1000\]  मी /\[3600\]से \[ = \dfrac{5}{{18}}\] मी/से

\[u = 126 \times \dfrac{5}{{18}}\]

\[ = 35\]  मी/से 

कार की अन्तिम चाल, \[v = 0\], तय की गई दूरी, \[s = 200\] मीटर
सूत्र \[{v_2} = {u_2} + 2as\] से,
त्वरण \[\left( a \right) = \dfrac{{{v^2} - {u^2}}}{{2s}}\]

\[\left( a \right) = \dfrac{{0 - {{\left( {35} \right)}^2}}}{{2 \times 200}}\]

\[ =  - 3.06\] मी / से\[^2\]

कार का मन्दन \[ = 3.06\] मी/से\[^2\]
यदि कार द्वारा लिया गया समय \[t\] हो, तो सूत्र
\[v = u + at\]  से  

\[0 = 35 - 3.06t\]

\[ \Rightarrow 3.06t = 35t\]

\[t = \dfrac{{35}}{{3.06}}\]

\[t = 11.4\] सेकण्ड  

7. दो रेलगाड़ियाँ $A$ व $B$ दो समान्तर पटरियों पर $72$$km{h^{ - 1}}$ की एकसमान चाल से एक ही दिशा में चल रही हैं। प्रत्येक गाड़ी $400$$m$लम्बी है और गाड़ी $A$ गाड़ी $B$से आगे है। $B$ का चालक  से आगे निकलना चाहता है तथा $1$ $m{s^{ - 2}}$ से इसे त्वरित करता है। यदि $50$ $s$ के बाद B को गार्ड $A$ के चालक से आगे हो जाता है तो दोनों के बीच आरम्भिक दूरी कितनी थी?
उत्तर: ट्रेनों के आरंभ और अंत की स्थिति को चित्र में दिखाया गया है।
प्रत्येक गाड़ी की प्रारम्भिक चाल \[\left( {{v_0}} \right) = 72\] किमी/घण्टा \[ = 20\]  मी/से

A गाड़ी की चाल नियत है तथा B गाड़ी का त्वरण \[a = 1\] मी/से$^2$

चित्र में \[D\]ड्राइवर तथा \[G\],गार्ड का संकेत है। \[t = 50\] सेकण्ड में रेलगाड़ी \[A\] द्वारा नियत चाल से तय की गयी दूरी
तथा \[B\] द्वारा त्वरित गति से तय की गयी दूरी

\[{s_B} = \left( {{v_0}} \right)t + \dfrac{1}{2}a{t^2}\]

\[ = 20 \times 50 + \dfrac{1}{2} \times 1 \times {\left( {50} \right)^2}\] मी 

\[ = 2250\] मी  

चित्र में \[x = \] प्रारम्भ में गाड़ियों के बीच की दूरी। चित्र से स्पष्ट है कि

\[{s_B} = x + 400 + {s_A} + 400\]

\[\therefore x = {s_B} - {s_A} - 800\]

\[ = \left( {2250 - 1000 - 800} \right)\]  मी 

\[ = 450\] मी 

यह प्रारम्भ में A रेलगाड़ी के गार्ड तथा B रेलगाड़ी के ड्राइवर के बीच की दूरी है।

8. दो लेन वाली किसी सड़क पर कार \[A\] \[36\] \[kmh - 1\] की चाल से चल रही है। एक-दूसरे की विपरीत दिशाओं में चलती दो कारें \[B\] वा  \[C\] जिनमें से प्रत्येक की चाल \[54\]\[kmh - 1\] है, कार \[A\] तक पहुँचना चाहती है। किसी क्षण जब दूरी \[AB\]दूरी \[AC\]के बराबर है तथा दोनों \[1\] \[km\] हैं, कार B का चालक यह निर्णय करता है कि कार  \[C\] के कार \[A\] तक पहुँचने के पहले ही वह कार \[A\] से आगे निकल जाए। किसी दुर्घटना से बचने के लिए कार \[B\] का कितना न्यूनतम त्वरण जरूरी है?

उत्तर: कार \[A\] की चाल \[ = \left( {36 \times 5/18} \right)\]मी/से \[ = 10\] मी/से
कार \[B\] तथा कार \[C\] दोनों की चाल एकसमान है, अर्थात्,

\[{v_B} = {v_C} = 54\] किमी/घण्टा \[ = \left( {54 \times 5/18} \right)\] मी/से \[ = 15\]मी/से \[A\] के सापेक्ष कार \[B\] का आपेक्षिक वेग \[{v_{BA}} = {v_B} - {v_A}\]

\[ = \left( {15 - 10} \right)\] मी/से 

\[ = 5\] मी/से
ना कार \[C\] द्वारा दूरीं \[AC\]तय करने में लगा समय
\[141\] किमी \[ \to \] किमी
\[t\] है। चूँकि कार \[C\]  का वेग नियत है, अत: सूत्र \[x = ut\]

चित्र \[3.5\]

\[AC = {v_{CA}} \times t\]

\[t = \dfrac{{AC}}{{{v_{CA}}}}\]

\[ = \dfrac{{1000}}{{25}}\]

\[ = 40\]सेकण्ड  

माना कार \[B\] का त्वरण \['a'\] है तथा यह \[t = 40\] सेकण्ड में \[BA = 1\] किमी या \[1000\] मी

या  \[1000 = 200 + 800a\]

\[\therefore a = \dfrac{{1000 - 200}}{{800}}\] मी/से \[^2\] 

\[ = 1\] मी/से \[^2\]

प्रश्न 9:दो नगर \[A\] व \[B\]नियमित बस सेवा द्वारा एक-दूसरे से जुड़े हैं और प्रत्येक मिनट के बाद दोनों तरफ बसें चलती हैं। कोई व्यक्ति साइकिल से \[20\] \[kmh - 1\] की चाल से \[A\] से \[B\] की तरफ जा रहा है और यह नोट करता है कि प्रत्येक \[18\]मिनट के बाद एक बस उसकी गति की दिशा में तथा प्रत्येक \[6\]मिनट बाद उसके विपरीत दिशा में गुजरती है। बस सेवाकाल T कितना है और बसें सड़क पर किस चाल (स्थिर मानिए) से चलती हैं?
उत्तर: माना \[vb = \] प्रत्येक बस की चाल
तथा \[vc = \] साइकिल-सवार की चाल
साइकिल चालक की गति की दिशा में चलती बसों की सापेक्ष गति\[ = vb - vc\]

साइकिल सवार की गति की दिशा में प्रत्येक \[18\]\[\min \]या  \[\dfrac{{18}}{{16}}h\] बाद एक बस गुजरती है।

∴ पार की गई दूरी \[\left( {{v_b} - {v_c}} \right) \times \dfrac{{18}}{{60}}\] है।
चूँकि बसें प्रत्येक T मिनट बाद चलती हैं, इसलिए दूरी \[{v_b} \times \dfrac{T}{{60}}\]के तुल्य होगी।

\[\therefore \left( {{v_b} - {v_c}} \right) \times \dfrac{{18}}{{60}} = {v_b} \times \dfrac{T}{{60}}\]

साइकिल-सवार से विपरीत दिशा में प्रत्येक \[6\]\[\min \]के बाद गुजरने वाली बसों का आपेक्षिक वेग \[\left( {{v_b} + {v_c}} \right)\] है।
∴ चली गई दूरी \[\left( {{v_b} + {v_c}} \right) \times \dfrac{6}{{60}}\] है।

\[\left( {{v_b} + {v_c}} \right) \times \dfrac{6}{{60}} = {v_b} \times \dfrac{T}{{60}}\]

समीकरण (1) को समीकरण (2) से भाग देने पर,

\[\left( {\dfrac{{{v_b} - {v_c}}}{{{v_b} + {v_c}}}} \right) \times \dfrac{{18}}{6} = 1\]

हल करने पर,

\[{v_b} = 2{v_c}{v_c} = 20\] \[km{h^{ - 1}}\] 

\[T = 9\] \[\min \]

प्रश्न 10: कोई खिलाड़ी एक गेंद को ऊपर की ओर आरम्भिक चाल \[29\] \[m{s^{ - 1}}\] से फेंकता है,
(i) गेंद की ऊपर की ओर गति के दौरान त्वरण की दिशा क्या होगी?

उत्तर:(i) गेंद गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के प्रभाव का अनुभव करती है जो हमेशा लंबवत नीचे की ओर कार्य करती है।
(ii) इसकी गति के उच्चतम बिन्दु पर गेंद के वेग व त्वरण क्या होंगे?

उत्तर:(ii) उच्चतम बिन्दु पर वेग = शून्य
उच्चतम बिन्दु पर त्वरण \[g = 9.8m{s^{ - 2}}\] (ऊध्र्वाधर नीचे की ओर)
(iii) गेंद के उच्चतम बिन्दु पर स्थान के समय को \[x = 0\] व \[t = 0\] चुनिए, ऊध्र्वाधर नीचे की ओर की दिशा को \[X - \]अक्ष की धनात्मक दिशा मानिए। गेंद की ऊपर की व नीचे की ओर गति के दौरान स्थिति, वेग व त्वरण के चिह्न बताइए।

उत्तर:(iii) ऊपर की ओर गति के लिए,
(a) स्थिति धनात्मक
(b) वेग ऋणात्मक
(c) त्वरण धनात्मक
(iv) किस ऊँचाई तक गेंद ऊपर जाती है और कितनी देर के बाद गेंद खिलाड़ी के हाथों में आ . जाती है? \[[g = 9.8m{s^{ - 2}}\]तथा वायु का प्रतिरोध नगण्य है।]

उत्तर: (iv) ऊपर की ओर गति के दौरान,

हल करने पर,

\[{v_b} = 2{v_c}{v_c} = 20\]\[km{h^{ - 1}}\]

\[u =  - 29\] \[m{s^{ - 1}}\],\[a = 9.8m{s^{ - 2}}\],\[v = 0\]

\[S =  - 42.91\] \[m\]

इसके अतिरिक्त \[v = u + at\] से,

\[0 = \left( { - 29} \right) + 9.8t\]

\[t = \dfrac{{29}}{{9.8}}\]

\[t = 2.96\] \[s\]

कुल समय \[ = 2.96\] \[s\]\[\; + 2.96\] \[s\]

\[ = 5.92\] \[s\]

प्रश्न 11:नीचे दिए गए कथनों को ध्यान से पढिए और कारण बताते हुए व उदाहरण देते हुए बताइए कि वे सत्य हैं या असत्य, एकविमीय गति में किसी कण की

(a) किसी क्षण चाल शून्य होने पर भी उसका त्वरण अशून्य हो सकता है।

उत्तर: सच है, सरल हार्मोनिक गति करने वाले कण के अधिकतम विस्थापन के मामले में, कण की गति शून्य होती है, जबकि त्वरण अधिकतम (गैर-शून्य) होता है।
(b) चाल शून्य होने पर भी उसका वेग अशून्य हो सकता है।

उत्तर: (b) असत्य, गति शून्य होने का अर्थ है कि कण के वेग का परिमाण शून्य है।
(c) चाल स्थिर हो तो त्वरण अवश्य ही शून्य होना चाहिए।

उत्तर: (c) असत्य, एकसमान वृत्तीय गति में कण की गति स्थिर रहती है, भले ही वह गति में हो। अभिकेन्द्रीय त्वरण कार्य करता है।
(d) चाल अवश्य ही बंढती रहेगी, यदि उसका त्वरण धनात्मक हो।

उत्तर: (d)असत्य, यह तभी सत्य हो सकता है जब चुनी हुई धनात्मक दिशा गति की दिशा के अनुदिश हो।

प्रश्न 12: \[\]किसी गेंद को $90$ $m$की ऊँचाई से फर्श पर गिराया जाता है। फर्श के साथ प्रत्येक टक्कर में गेंद की चाल $\dfrac{1}{{10}}$कम हो जाती है। इसकी गति का $t = 0$ से  $12$ $s$ के बीच चाल-समय ग्राफ खींचिए।

उत्तर: 

\[{u_1} = 0\]यहाँ,

\[{s_1} = 90\]m,

\[{\alpha _1} = 9.8\] \[m{s^{ - 2}}\]

\[{v_1}^2 - {u_1}^2\] \[ = 2{a_1}{s_1}\] द्वारा,

\[{v_1}^2 - 0 = 2 \times 9.8 \times 90\]

\[{v_1} = \sqrt {1764} \]\[m{s^{ - 1}}\]

\[{v_1} = 42\]\[m{s^{ - 1}}\]

\[{v_1} = {u_1} + {a_1}{t_1}\]

$\therefore 42 - 0 = 9.8 \times {t_1}$

${t_1} = \dfrac{{42}}{{9.8}} \approx 4.2$$s$
पुन: ${u_2} = {v_1} - \dfrac{{{v_1}}}{{10}}$

$ = 42 - 4.2$

$ = 37.8m$ $s$
अत: 

$t = {t_1} + {t_2}$

$ = \left( {4.2 + 3.9} \right)$

$ = 8.1s$  पर चाल ${v_2} = 0$

जैसा कि हम जानते हैं कि ऊपर जाने का समय = नीचे आने का समय $ = 3.9$ $s$

$\therefore {t_3} = {t_2} = 3.9$

वह वेग जिससे गेंद फर्श पर टकराती है $ = {u_3} = {u_2} = 37.8$$m{s^{ - 1}}$

अत: $t = \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + {t_3}$

$ = (8.1 + 3.9)s$

$ = 12s$

पर चाल $v = 37.8$ $m{s^{ - 1}}$

प्रश्न 13: उदाहरण सहित निम्नलिखित के बीच के अन्तर को स्पष्ट कीजिए

(a) किसी समय अन्तराल में विस्थापन के परिमाण (जिसे कभी-कभी दूरी भी कहा जाता है)। और किसी कण द्वारा उसी अन्तराल के दौरान तय किए गए पथ की कुल लम्बाई।
(b) किसी समय अन्तराल में औसत वेग के परिमाण और उसी अन्तराल में औसत चाल
(किसी समय अंतराल में किसी कण की औसत चाल को समय अन्तराल द्वारा विभाजित की गई कुल पथ-लम्बाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रदर्शित कीजिए कि (a) व (b) दोनों में ही दूसरी राशि-पहली से अधिक या उसके बराबर है। समता का | चिह्न कब सत्य होता है? (सरलता के लिए केवल एकविमीय गति पर विचार कीजिए।)

उत्तर: (a) विस्थापन के परिमाण का अर्थ है सीधी रेखा की कुल लम्बाई अर्थात् गति के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दुओं के बीच की दूरी। कण द्वारा किसी समय अन्तराल में तय किए गए निश्चित पथकी कुल लम्बाई, उसी अन्तराल में गति के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दुओं के बीच की दूरी भिन्न हो सकती है, जैसे चित्र$ - 3.7$ में $A$ से $B$ तक पहुँचने में पंथ
(1),दूरी का अर्थ है पथ और पथ की लंबाई

(1) विस्थापन के परिमाण को दर्शाता है।

पथ (2). के लिए

औसत चाल = दूरी ( पथ AB )/ t

यह स्पष्ट है कि औसत गति का मान औसत वेग के परिमाण से भिन्न होता है।

और औसत गति का मान > औसत वेग का परिमाण
यदि \[A\]व \[B\] के बीच गति केवल पथ (2) पर हो तब औसत चाल \[ = 1\] औसत वेग ।
अतः स्पष्ट है कि प्रत्येक स्थिति में
| औसत चाल \[| \geqslant |\]  औसत वेगे ।

प्रश्न 14: कोई व्यक्ति अपने घर से सीधी सड़क पर \[5\] \[km{h^{ - 1}}\] की चाल से \[2.5\]\[km\] दूर बाजार तक पैदल जाता है। परन्तु बाजार बन्द देखकर वह उसी क्षण वापस मुड़ जाता है तथा \[7.5\] \[kmh\] ! की चाल से घर लौट आता है। समय अन्तराल आप थककर घर लौटे उस व्यक्ति को यह बताना नहीं चाहेंगे कि उसकी औसत चाल

शून्य थी।)
उत्तर: व्यक्ति को घर से बाजार तक जाने में लगा समय,

\[{t_1} = \] दूरी / चाल

\[ = 25\] किमी / \[5.0\] किमी/घण्टा 

\[ = \dfrac{1}{2}\]  घण्टा 

\[ = 30\]मिनट 

व्यक्ति को बाजार से घर तंक वापस आने में लगा समय,

\[{t_2} = \] दूरी  चाल 

\[ = 25\]  किमी / \[7.5\] किमी/घण्टा 

\[ = \dfrac{1}{3}\] घण्टा 

\[ = 20\]मिनट 

(i) \[0 - 30\]मिनट

(i) \[0 - 30\] मिनट समयान्तराल में,
(a) व्यक्ति के माध्य वेग का परिंमाण = बाजार पहुँचने के क्षण उसके वेग का परिमाण \[ = 5\]किमी/घण्टा
(b) माध्य चाल = बाजार पहुँचने के क्षण वेग का परिमाण \[ = 5\] किमी/घण्टा

(ii) \[0 - 50\] मिनट
(ii) \[0 - 50\] मिनट समयान्तराल में,

व्यक्ति द्वारा लिया गया कुल समय 

\[ = {t_1} + {t_2}\]

\[ = \left( {30 + 20} \right)\] मिनट 

\[ = 50\] मिनट 

\[ = \dfrac{{50}}{{60}}\] घण्टा 

\[ = \dfrac{5}{6}\] घण्टा
व्यक्ति द्वारा तय की गयी दूरी (पथ की लम्बाई) \[ = 2.5\]  किमी \[ + 2.5\]  किमी \[ = 5.0\]  किमी तथा व्यक्ति का विस्थापन \[ = 2.5\]  किमी \[ - 2.5\] किमी \[ = 0\]

(a) के माध्य वेग का परिमाण तथा
(a) औसत वेग का परिमाण 

= विस्थापन  / कुल समय 

\[ = \dfrac{0}{{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}}\]  घण्टा 

\[ = 0\]

(b) की माध्य चाल क्या है? (नोट—आप इस उदाहरण से समझ सकेंगे कि औसत चाल को औसत-वेग के परिमाण के रूप में परिभाषित करने की अपेक्षा समय द्वारा विभाजित कुल पथ-लम्बाई के रूप में परिभाषित करना अधिक अच्छा क्यों है?
(b) माध्य चाल 

= कुल पथ की लम्बाई / कुल समय 

\[ = \dfrac{5}{{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}}\] 

\[ = 6\] किमी/घण्टा

(iii) \[0 - 40\] मिनट की अवधि में उस व्यक्ति
(iii) \[0 - 40\] मिनट के समय-अन्तराल में,
गति आरम्भ से  \[{t_1} = 30\] मिनट में तय की दूरी  \[ = 2.5\] किमी (बाजार की ओर)
∴ (a) औसत वेग का परिमाण 

= विस्थापन / समय 

\[ = \dfrac{{2.5 - 1.25}}{{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}} \right)}}\]

\[ = \dfrac{{15}}{8}\] किमी/घण्टा 

\[ = 1875\] किमी /घण्टा

प्रश्न 15: हमने अभ्यास प्रश्न \[13\] तथा \[14\] में औसत चाल व औसत वेग के परिमाण के बीच के अन्तर को स्पष्ट किया है। यदि हम तात्क्षणिक चाल व वेग के परिमाण पर विचार करते हैं तो इस तरह का अन्तर करना आवश्यक नहीं होता। तात्क्षणिक चाल हमेशा तात्क्षणिक वेग के बराबर होती है। क्यों?
उत्तर: जब हम यादृच्छिक समय अंतराल पर विचार करते हैं, तो विस्थापन का परिमाण हमेशा दूरी के परिमाण के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में,

तात्कालिक वेग,

\[{v_{inst}} = {\lim _{t \to 0}}\dfrac{{\vartriangle s}}{{\vartriangle t}}\]

\[v = {\lim _{t \to 0}}\dfrac{{\vartriangle x}}{{\vartriangle t}}\]           

तात्क्षणिक चाल,                                                                       (x= दूरी )
अत्यन्त लघु समय अन्तरालों \[\left( {\vartriangle t \to 0} \right)\] में वस्तु की गंति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं माना जाता; अतः कुल पथ-लम्बाई (दूरी) तथा विस्थापन के परिमाण में कोई अन्तर नहीं होता। इस प्रकार तात्क्षणिक चाल सदैव तात्क्षणिक वेग के परिमाण के तुल्य होती है।

प्रश्न 16:चित्र-8.8 में (a) से (d) तक के ग्राफों को ध्यान से देखिए और देखकर बताइए कि इनमें से कौन-सा ग्राफ एकविमीय गति को सम्भवतः नहीं दर्शा सकता?

उत्तर: (a) यह ग्राफ एक-आयामी गति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि किसी भी क्षण कण की दो स्थितियाँ एक-आयामी गति में संभव नहीं हैं।

(b) यह ग्राफ एक-आयामी गति नहीं दिखाता है, क्योंकि किसी भी क्षण कण का वेग सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में होता है, जो एक-आयामी गति में संभव नहीं है।

(c) यह ग्राफ भी एक आयामी गति नहीं दिखाता है, क्योंकि यह ग्राफ कण की नकारात्मक गति दिखा रहा है और कण की गति ऋणात्मक नहीं हो सकती है।

(d) यह ग्राफ भी एक-आयामी गति नहीं दिखाता है, क्योंकि यह दिखा रहा है कि एक निश्चित समय के बाद कुल पथ लंबाई घट रही है, लेकिन गतिमान कण की कुल पथ लंबाई समय के साथ कभी कम नहीं होती है।

प्रश्न 17: चित्र \[3:9\] में किसी कण की एकविमीय गति का ग्राफ दिखाया गया है। ग्राफ से क्या यह कहना ठीक होगा कि यह कण है \[t < 0\] के लिए किसी सरल रेखा में और है \[t > 0\]  के लिए किसी परवलीय पथ में गति करता है। यदि नहीं, तो ग्राफ के संगत किसी उचित भौतिक सन्दर्भ का सुझाव दीजिए।

उत्तर: यह कहना ठीक नहीं होगा कि यह कण है \[t < 0\]  के लिए किसी सरल रेखा में और \[t > 0\]  के लिए किसी परवलीय पथ में गति करता है, चूँकि \[x - t\]  ग्राफ कण का पथ प्रदर्शित नहीं कर सकता।

ग्राफ द्वारा \[t = 0\] पर \[x = 0\] यह प्रदर्शित है; इसलिए, ग्राफ गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने वाली वस्तु की गति दिखा सकता है।

प्रश्न 18: किसी राजमार्ग पर पुलिस की कोई गाड़ी \[30\] \[km/h\]  की चाल से चल रही है और यह उसी दिशा में \[192\] \[km/h\] की चाल से जा रही किसी चोर की कार पर गोली चलाती है। यदि गोली की नाल मुखी चाल \[150\] \[m{s^{ - 1}}\] है तो चोर की कार को गोली किस चाल के साथ आघात करेगी?
(नोट-उस चाल को ज्ञात कीजिए जो चोर की कार को हानि पहुँचाने में प्रासंगिक हो।)

उत्तर: चोर की कार की चाल \[vt = 192\]

किमी/घण्टा \[ = \left( {192 \times \dfrac{5}{{18}}} \right)\]
मी/से \[ = \left( {\dfrac{{160}}{3}} \right)\] मी/से

पुलिस की कार की चाल \[vp = 30\]
किमी/घण्टा \[ = \left( {30 \times \dfrac{5}{{18}}} \right)\] मी/से 

\[ = \dfrac{{25}}{3}\] मी/से
पुलिस की कार (चाल) के सापेक्ष गोली की चाल, \[vbp = 150\] मी/से
पुलिस की गाड़ी के सापेक्ष चोर की कार की सापेक्ष गति
\[{v_{tp}} = {v_t} - {v_p}\]

\[ = \left( {\dfrac{{160}}{3} - \dfrac{{25}}{3}} \right)\] मी/से 

\[ = \dfrac{{135}}{3}\] मी / से 

\[ = 45\] मी/से
चोर की कार को गोली मारने की गति = पुलिस की गाड़ी के सापेक्ष गोली की सापेक्ष गति –

पुलिस की गाड़ी के सापेक्ष चोर की कार की गति

\[ = vbp - vtp\]

\[ = 150\] मी/से \[ - 45\] मी/से 

\[ = 105\] मी/से

प्रश्न 19: चित्र \[3.10\] में दिखाए गए प्रत्येक ग्राफ के लिए किसी उचित भौतिक स्थिति का सुझाव दीजिए

उत्तर:

a) \[x - t\] ग्राफ प्रदर्शित कर रहा है कि प्रारम्भ में \[x\] शून्य है, तो यह एक स्थिर मान प्राप्त करता है, फिर से शून्य हो जाता है और फिर यह विपरीत दिशा में आगे बढ़ता है और अंत में एक स्थिर मान (बाकी) प्राप्त करता है। इसलिए, यह ग्राफ भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है जैसे कि एक गेंद आराम से फेंकी जाती है और दीवार से टकराकर वापस उछलती है और कम गति से उछलती है और यह क्रम तब तक जारी रहता है जब तक कि वह आराम तक नहीं पहुंच जाती।

b) यह ग्राफ दिखा रहा है कि समय के प्रत्येक अंतराल के साथ वेग बदल रहा है और हर बार इसका वेग घट रहा है। इसलिए, यह ग्राफ एक भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिसमें एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाली गेंद (जब फेंकी जाती है) जमीन से टकराती है और कम गति से फिर से उछलती है और हर बार जब यह जमीन से टकराती है, तो इसकी गति कम हो जाती है।

c) यह ग्राफ दर्शाता है कि वस्तु कम समय में गति करती है। इस प्रकार, यह ग्राफ एक भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिसमें एक समान गति से चलती हुई गेंद को थोड़े समय के अंतराल में बल्ले से मारा जाता है।

प्रश्न 20: चित्र \[3.11\] में किसी कण की एकविमीय सरल आवर्ती गति के लिए \[x - t\] ग्राफ दिखाया गया है। (इस गति के बारे में आप अध्याय \[14\] में पढ़ेंगे) समय \[t = 0.3s,1.2s, - 1.2s\] पर कण के स्थिति, वेग व त्वरण के चिह्न क्या होंगे?

उत्तर:

सरल आवर्ती गति में, त्वरण, \[\alpha  =  - \omega 2x\]  जहाँ \[\omega \] नियतांक (कोणीय आवृत्ति) है।
समय \[t = 0.3s\]  पर, \[x\] ऋणात्मक है, \[x - t\] ग्राफ का ढाल ऋणात्मक है; अतः स्थिति एवं वेग ऋणात्मक हैं। चूंकि \[\alpha  =  - \omega 2x\];
अत: त्वरण धनात्मक है। समय \[t = 1.2s\] पर, \[x\] धनात्मक है, \[x - t\] ग्राफ का ढाल भी धनात्मक है; अतः स्थिति एवं वेग धनात्मक हैं। चूंकि \[\alpha  = \omega 2x\]; अतः त्वरण ऋणात्मक है।
समय \[t =  - 1.2s\]  पर, \[x\] ऋणात्मक है, \[x - t\] ग्राफ का ढाल भी धनात्मक है; अतः वेग धनात्मक है। अन्त में त्वरण ‘α’ भी धनात्मक है।

प्रश्न 21: चित्र \[3.12\] में किसी कण की एकविमीय गति का है ग्राफ दर्शाता है। इसमें तीन समान अन्तराल दिखाए गए हैं। किस अन्तराल में औसत चाल अधिकतम है और किसमें न्यूनतम है? प्रत्येक अन्तराल के लिए औसत वेग का चिह्न बताइए।

उत्तर:

हम जानते हैं कि लघु अन्तरालों में \[x - t\] ग्राफ का ढाल उस अन्तराल में कण की औसत चाल व्यक्त करता है। ग्राफ से यह स्पष्ट है कि अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में ग्राफ का ढाल अधिकतम है, परन्तु अन्तराल \[\left( 2 \right)\] में न्यूनतम है। अतः औसत चाल अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में अधिकतम तथा अन्तराल \[\left( 2 \right)\] में न्यूनतम होगी।

इसके अतिरिक्त अन्तराल \[\left( 1 \right)\] तथा \[\left( 2 \right)\] में ढाल धनात्मक है परन्तु अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में ऋणात्मक; अत: अन्तराल \[\left( 1 \right)\] व \[\left( 2 \right)\] में औसत वेग धनात्मक है परन्तु अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में ऋणात्मक।

प्रश्न 22: चित्र \[ - 3.13\] में किसी नियत (स्थिर) दिशा के अनुदिश चल रहे कण.का चाल-समय ग्राफ दिखाया गया है। इसमें तीन समान समय अन्तराल दिखाए गए हैं। किस अन्तराल में औसत त्वरण का परिमाण अधिकतम होगा? किस अन्तराल में औसत चाल अधिकतम होगी? धनात्मक दिशा को गति की स्थिर दिशा चुनते हुए तीनों अन्तरालों में ν तथा a के चिह्न बताइए। \[A,B,C\] व \[D\] बिन्दुओं पर त्वरण क्या होंगे?

उत्तर:

i) हम जानते हैं कि लघु अन्तरालों में \[v - t\] ग्राफ के ढाल का परिमाण कण के औसत त्वरण को परिमाण देता है। दिए गए चित्र से स्पष्ट है कि ढाल का परिमाण
(2) में अधिकतम तथा
(3) में न्यूनतम है।

अत: औसत त्वरण का परिमाण अन्तराल \[\left( 2 \right)\] में अधिकतम तथा \[\left( 3 \right)\] में न्यूनतम होगा।

ii) चित्र से स्पष्ट है कि औसत चाल अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में अधिकतम तथा अन्तराल \[\left( 1 \right)\] में न्यूनतम है।

iii) सभी तीनों अन्तरालों में चाल ν धनात्मक है। पुनः अन्तराल \[\left( 1 \right)\] में  \[\left( {v - t} \right)\] ग्राफ का ढाल धनात्मक है, जबकि अन्तराल \[\left( 2 \right)\] में ढाल (त्वरण a) ऋणात्मक है। चूंकि अन्तराल \[\left( 3 \right)\] में, \[v - t\] ग्राफ समय-अक्ष के समान्तर है; अत: इस अन्तराल में a शून्य है।

iv) \[A,B,C\] तथा \[D\].बिन्दुओं पर, \[v - t\]  ग्राफ समय-अक्ष के समान्तर है। इसलिए सभी चारों बिन्दुओं पर ‘a’ शून्य है।

अतिरिक्त अभ्यास
प्रश्न 23: कोई तीन पहिये वाला स्कूटर अपनी विरामावस्था से गति प्रारम्भ करता है। फिर \[10s\] तक किसी सीधी सड़क पर \[1\] \[m{s^{ - 2}}\] के एकसमान त्वरण से चलता है। इसके बाद वह एकसमान वेग से चलता है। स्कूटर द्वारा नावें सेकण्ड \[\left( {n = 1,2,3,.....} \right)\] में तय की गई दूरी को \[n\] के सापेक्ष आलेखित कीजिए। आप क्या आशा करते हैं कि त्वरित गति के दौरान यह ग्राफ कोई सरल रेखा या कोई परवलय होगा?

उत्तर: हम जानते हैं कि

-हम जानते हैं कि

\[{s_n}\] वाँ \[ = u + \dfrac{a}{2}\left( {2n - 1} \right)\]

जब \[u = 0\],\[a = 1\]\[m{s^{ - 2}}\]

\[{s_n}\] वाँ \[ = 0 + \dfrac{1}{2}\left( {2n - 1} \right)\]

\[ = \dfrac{1}{2}\left( {2n - 1} \right)\]

\[n = 1,2,3,...\]के लिए 

\[{s_1} = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 1 - 1} \right)\]

\[ = 0.5\]m

\[{s_2} = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 2 - 1} \right)\]

\[{s_2} = 1.5\]m

\[{s_3} = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 3 - 1} \right)\]

\[{s_3} = 2.5\] m

\[{s_4} = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 4 - 1} \right)\]

\[ = 3.5\] \[m\]

\[{s_5} = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 5 - 1} \right)\]

\[ = 4.5\] \[m\]

\[{s_6}\] \[ = \dfrac{1}{2}\left( {2 \times 6 - 1} \right)\]

\[ = 5.5m\]

\[{s_7}\] \[ = 12\left( {2 \times 7 - 1} \right)\]

\[ = 6.5m\]

\[{s_8}\] \[ = 12\left( {2 \times 8 - 1} \right)\]

\[ = 7.5m\]

\[{s_9}\] \[ = 12\left( {2 \times 9 - 1} \right)\]

\[ = 8.5m\]

\[{s_{10}}\] \[ = 12\left( {2 \times 10 - 1} \right)\]

\[ = 9.5m\]

चित्र-3.14 में प्रदर्शित ग्राफ से स्पष्ट है कि त्वरित गति के दौरान हमें एक सरल रेखा प्राप्त होती है।

प्रश्न 24: किसी स्थिर लिफ्ट में (जो ऊपर से खुली है) कोई बालक खड़ा है। वह अपने पूरे जोर से एक गेंद ऊपर की ओर फेंकता है जिसकी प्रारम्भिक चाल \[49\]\[m{s^{ - 1}}\] है। उसके हाथों में गेंद के वापस आने में कितना समय लगेगा? यदि लिफ्ट ऊपर की ओर \[5\]\[m{s^{ - 1}}\] की एकसमान चाल से गति करना प्रारम्भ कर दे और वह बालक फिर गेंद को अपने पूरे जोर से फेंकता तो कितनी देर में गेंद उसके हाथों में लौट आएगी?

उत्तर: -यहाँ \[{v_0} = 49\] मी/से, \[a{y^ - } =  - 9.8\]  मी/से\[^2\] तथा विस्थापन, \[{y_t} - {y_0} = 0\]. अत: समी० \[{y_t} - {y_0} = {v_0} \times t + \dfrac{1}{2}a{t^2}\] से

\[0 = \left( {49} \right)t - \dfrac{1}{2}\left( {9.8} \right){t^2}\]

सरल करने पर \[t = 10\] सेकण्ड
जब लिफ्ट ऊपर की ओर \[5\] मी/से की चाल से गति आरम्भ करे तो भी गेंद अब भी पूर्व की भाँति \[10\]सेकण्ड ही लेगी, चूंकि गेंद की बालक के सापेक्ष आपेक्षिक गति जब भी \[49\] मी/से ही होगी।

प्रश्न 25: क्षैतिज में गतिमान कोई लम्बा पट्टा (चित्र\[ - 3.5\]) \[4\] \[km/h\] की चाल से चल रहा है। एक बालक इस पर (पट्टे के सापेक्ष) $9$ \[km/h\] की चाल से कभी आगे, कभी पीछे अपने माता-पिता के बीच दौड़ रहा है। माता व पिता के बीच $50$$m$की दूरी है। बाहर किसी स्थिर प्लेटफार्म पर खड़े एक प्रेक्षक के लिए, निम्नलिखित का मान प्राप्त करिए
(a) पट्टे की गति की दिशा में दौड़ रहे बालक की चाल,\[\]
(b) पट्टे की गति की दिशा के विपरीत दौड़ रहे बालक की चाल,
(c) बच्चे द्वारा (a) व (b) में लिया गया समय यदि बालक की गति का प्रेक्षण उसके माता या पिता करें तो कौन-सा उत्तर बदल जाएगा?

उत्तर: माना $\overrightarrow {{v_R}}  = $ पट्टे का वेंग $ = 4$$km{h^{ - 1}}$ (बाएँ से दाएँ)
$\overrightarrow {{v_{CB}}}  = $  पट्टे के सापेक्ष बालक का वेग
(a)जब बच्चा बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ता है-
पट्टे के सापेक्ष बालक का वेग $ = 9$$km{h^{ - 1}}$ (बाएँ से दाएँ)
यदि प्लेटफॉर्म पर खड़े प्रेक्षक के सापेक्ष बच्चे का वेग${\overrightarrow v _c}$हो तो

$\overrightarrow {{v_{CB}}}  = {\overrightarrow v _C} - \overrightarrow {{v_B}} $ या  ${\overrightarrow v _C} = \overrightarrow {{v_{CB}}}  + \overrightarrow {{v_B}} $

या $\overrightarrow {{v_c}}  = 9 + 4 = 13$ kmh-1 (बाएँ से दाएँ)
(b) जब बच्चा बेल्ट की गति की दिशा के विपरीत दौड़ता है-

$\overrightarrow {{v_{CB}}}  =  - 9$$km{h^{ - 1}}$ (बाएँ से दाएँ) 

यदि एक स्थिर प्रेक्षक के संबंध में बच्चे का वेग${\overrightarrow v _C}$है तो
\[\overrightarrow {{v_{CB}}}  = \overrightarrow {{v_C}}  - {\overrightarrow v _B}\]  या  \[\overrightarrow {{v_{CB}}}  + {\overrightarrow v _B} = \overrightarrow {{v_C}} \]
\[\overrightarrow {{v_c}}  = \left( { - 9} \right) + 4 =  - 5\] \[km{h^{ - 1}}\] 

ऋणात्मक चिन्ह बच्चे की विपरीत दिशा (दाएं से बाएं) का प्रतिनिधित्व करता है।

(सी) मामले में लिया गया समय (ए) या (बी)

\[t = \]माता-पित्ता के. बीच की दूरी / बालंक की चाल 

\[ = \dfrac{{50 \times 60 \times 60}}{{1000 \times 9}}\]

\[ = 20\] \[s\]

समय \[20\] \[s\] यदि माता या पिता बच्चे की हरकतों को देखते हैं।

प्रश्न 26: किसी \[200\]$m$  ऊँची खड़ी चट्टान के किनारे से दो पत्थरों को एक साथ ऊपर की ओर $15$$m{s^{ - 1}}$  तथा $30$ $m{s^{ - 1}}$ की प्रारम्भिक चाल से फेंका जाता है। इसका सत्यापन कीजिए कि संलग्न ग्राफ (चित्र$ - 3.16$) पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की आपेक्षिक स्थिति का समय के साथ परिवर्तन को प्रदर्शित करता है। वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानिए और यह मानिए कि जमीन से टकराने के बाद पत्थर ऊपर की ओर उछलते नहीं। मान लीजिए $g = 10$ $m{s^{ - 2}}$ ग्राफ के रेखीय व वक्रीय भागों के लिए समीकरण लिखिए।\[\]

उत्तर:पहले पत्थर के लिए,
\[x\left( 0 \right) = 200m\],

 \[v\left( 0 \right) = 15\] \[m{s^{ - 1}}\],

 \[a =  - 10\] \[m{s^{ - 2}}\],

अत: t समय पर पहले पत्थर की स्थिति

\[{x_1}\left( t \right) = x\left( 0 \right) + v\left( 0 \right)t + \dfrac{1}{2}a{t^2}\]

\[ = 200 + 15t - 5{t^2}\]

जब पह़ला पत्थर जमीन से टकराता है,

\[{x_1}\left( t \right) = 0\]  या  \[ - 5{t^2} + 15t + 200 = 0\]

इसी प्रकार दूसरे पत्थर के लिए,

\[x\left( 0 \right) = 200\] \[m\],

\[\;v\left( 0 \right) = 30\] \[m{s^{ - 1}}\], 

\[a =  - 10\] \[m{s^{ - 2}}\]

अत: t समय पर दूसरे पत्थर की स्थिति

\[{x_2}\left( t \right) = x\left( 0 \right) + v\left( 0 \right)t + \dfrac{1}{2}a{t^2}\]

\[ = 200 + 30t - 5{t^2}\]

दूसरे पत्थर की पहले पत्थर के सापेक्ष आपेक्षिक स्थिति समीकरण (1) को समीकरण (3) में से घटाकर निम्नवत् दी जा सकती है-

\[x\left( t \right) - {x_1}\left( t \right)\;\]\[ = 15tx\; = 15t\]

जहाँ, \[x = {x_2}\left( t \right) - {x_1}\left( t \right)\], दोनों पत्थरों के बीच पृथक्करण है।
स्पष्ट है कि xt अर्थात् जब तक दोनों पत्थर गति करते रहेंगे, उनके बीच पृथक्करण बढ़ता जाएगा।
चूँकि \[{x_2}\left( t \right) - {x_1}\left( t \right)\]  तथा t के बीच एक रेखीय सम्बन्ध है, इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा होगा। समीकरण (2) को हल करने पर \[t = 8\] \[s\]

अर्थात् \[8\]\[s\] बाद पहला पत्थर पृथ्वी पर गिर जाएगा। इसके बाद केवल एक ही. पत्थर गति की अवस्था में होगा, अत: इस क्षण (\[t = 8\] \[s\] पर) दोनों के बीच पृथक्करण अधिकतम होगा। अत: समीकरण (4) में \[t = 8\] \[s\] रखने पर अधिकतम पृथक्करण \[120\] \[m\]है।
\[8s\] बाद, केवल दूसरा पत्थिर मति की अवस्था में होगा; अत: ग्राफ द्विघाती समीकरण के अनुसार परवलयाकार होगा।

प्रश्न 27: किसी निश्चित दिशा के अनुदिश चल रहे किसी कण का चाल-समय ग्राफ चित्र\[ - 3.17\] में दिखाया गया है। कण द्वारा
(a) \[t = 0\] \[s\] से \[t = 10\] \[s\],
(b) \[t = 2\] \[s\] से \[6\] \[s\] के बीच तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
(a) तथा (b) में दिए गए अन्तरालों की अवधि मेंकण की औसत चाल क्या है?

उत्तर: (a) कण द्वारा t = 0 से t = 10 sec के बीच तय की गई दूरी = OAB . का क्षेत्रफल

$ = \dfrac{1}{2} \times OB \times EA$

$ = \dfrac{1}{2} \times (10) \times (12 - 0)$

$ = 60$  मीटर 

\end{aligned}

(b) समान कोणिक $\vartriangle OCD$ तथा $\vartriangle OEA$ से,

या

$\dfrac{{CD}}{{EA}} = \dfrac{{OC}}{{OE}}$

$CD = \dfrac{{OC}}{{OE}} \times EA$

$ = \dfrac{2}{5} \times 12$

$ = 4.8$ मी/से 

समान कोणिक \[\vartriangle FGB\]तथा \[\vartriangle EAB\]से,
या

\[\dfrac{{FG}}{{EA}} = \dfrac{{FB}}{{EB}}FG\]

\[ = \dfrac{{FB}}{{EB}} \times EA\]

\[ = \dfrac{{\left( {10 - 6} \right)}}{{\left( {10 - 5} \right)}} \times 12\] मी/से 

\[ = 9.6\] मी/से 

\[t = 2\] सेकण्ड से \[t = 6\] सेकण्ड के बीच कण द्वारा तय की गयी दूरी

= समलम्ब चतुर्भुज CDAE का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज EAGF का क्षेत्रफल     

\[ = \dfrac{1}{2}\left( {CD + EA} \right) \times CE + 12\left( {EA + FG} \right) + EF\]

\[ = 12\left( {4.8 + 12} \right)\] मी / से \[ \times \left( {5 - 2} \right)\] से \[ + 12\left( {12 + 9.6} \right)\] मी/से \[ \times \left( {6 - 5} \right)\]से 

\[ = \left( {25.2 + 10.8} \right)\]मी 

\[ = 36.0\] मीटर   

(a) \[t = 0\] सेकण्ड से \[t = 10\] सेकण्ड के बीच औसत चाल 

= तय की गयी दूरी / समयान्तराल   

\[ = 60\] मीटर / 10 सेकण्ड 

\[ = 6\] मी/से 

(b) \[t = 2\] सेकण्ड से \[t = 6\] सेकण्ड के बीच औसत चाल

= तय की गयी दूरी /  समयान्तराल 

\[ = \dfrac{{36}}{4}\]

\[ = 9\]मी / से

प्रश्न 28: एकविमीय गति में किसीकण का वेग-समय ग्राफ चित्र \[ - 3.18\] में दिखाया गया है-नीचे दिए सूत्रों में \[{t_1}\] से \[{t_2}\] तक के समय अन्तराल की अवधि में कण की गति का वर्णन करने के लिए कौन-से सूत्र सही हैं

(i) \[x\left( {{t_2}} \right) = x\left( {{t_1}} \right) + v\left( {{t_1}} \right)({t_2} - {1_1} + \left( {1/2} \right)a{\left( {{t_2} - {t_1}} \right)^2}\]

उत्तर: यह सही नहीं है, क्योंकि \[{t_1}\] , तथा \[{t_2}\], के बीच अन्तराल में d स्थिर नहीं है।

(ii) \[v\left( {{t_2}} \right) = v\left( {{t_1}} \right) + a\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\]

उत्तर: यह सूत्र भी सही नहीं है। यहाँ भी a स्थिर नहीं है।

(iii) \[{v_{{\mathbf{average}}\;'}} = \left[ {x\left( {{t_2}} \right) - x\left( {{t_1}} \right)} \right]/\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\]
उत्तर: यह सूत्र सही है।

(iv) \[{a_{{\mathbf{average}}}}\; = \left[ {v\left( {{t_2}} \right) - v\left( {{t_1}} \right)} \right]/\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\]
उत्तर: यह सूत्र सही है।

(v) \[x\left( {{t_2}} \right) = x\left( {{t_1}} \right) + {v_{{\mathbf{average}}\;}}\left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}} \right){a_{{\mathbf{average}}\;}}{\left( {{t_2} - {t_1}} \right)^2}\] 

उत्तर: यह सूत्र सही नहीं है, क्योंकि इसमें औसत त्वरण का प्रयोग नहीं किया जा सकता।

(vi) \[x\left( {{t_2}} \right) - x\left( {{t_1}} \right) = t\] -अक्ष तथा दिखाई गई बिन्दुकित रेखा के बीच दर्शाए गए वक्र के अन्तर्गत आने वाला क्षेत्रफल।
उत्तर: यह सूत्र सही है।

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